ИНЖЕНЕРНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА ‒ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ: ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ В ДЕЛЕНИИ ОТРЕЗКА НА ТРИ РАВНЫЕ ЧАСТИ

0

Фото: профессор, д.э.н. А.А.Бужин.

ИНЖЕНЕРНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА ‒ ЗАДАЧИ
НА ПОСТРОЕНИЕ: ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ В ДЕЛЕНИИ ОТРЕЗКА
НА ТРИ РАВНЫЕ ЧАСТИ

ENGINEERING AND COMPUTER GRAPHICS — CONSTRUCTION PROBLEMS: CHORDS OF THE CIRCLE IN DIVISION OF THE SEGMENT INTO THREE EQUAL PARTS

«Предмет математики настолько серьёзен,
что полезно не упускать случая,
сделать его немного занимательным»
Блез Паскаль [12, c. 36]

Доктор экономических наук, профессор, Алексей Андреевич Бужин
Doctor of Economic Sciences, Professor Oleksii А. Buzhyn

Черкасский институт пожарной безопасности имени Героев Чернобыля
Национального университета гражданской защиты Украины, Черкассы (Украина)
Cherkassy Institute of Fire Safety named after Chernobyl Heroes
of National University of Civil Protection of Ukraine, Cherkassy (Ukraine)

Phone: +380677740210
Е-mail: buzhyn@ukr.net

АННОТАЦИЯ .

После деления отрезка на две равные части, соединяем их окружностью. Образованный радиус, средний перпендикуляр делим на две равные части. После этого вторую половину радиуса, прилегающую к окружности, также делим на две равные части. Прямую, разделившую вторую половину радиуса на две равные части, с помощью линейки продолжаем до пересечения с окружностью с образованием хорды. Соединяя конечные точки образованной хорды с конечными точками диаметра окружности, он же заданный отрезок, создаем с противоположных сторон две новые хорды, используя которые, делим его двумя вариантами на три равные части. Применяя циркуль, замеряем длину одной из половин образованной, на ¾ от образованного диаметра, он же заданный для деления отрезок, хорды, и затем последовательно откладываем ее на отрезке. Таким образом, отрезок прямой будет разделен на три ровные части. Каждую из половин, образованной на ¾ от образованного диаметра хорды, делим примененным методом, пополам. Прямые, которые делят каждую из половин хорды на две равные части, проводим до касания с отрезком. Данный отрезок прямой будет разделен на три равные части.
Ключевые слова середина отрезка, средний перпендикуляр, окружность, радиус, циркуль, линейка.

ABSTRACT After dividing the segment, by into two equal parts, connect them with a circle. The radius is divided into two equal parts. Thereafter, the second half of the radius adjacent to the circle is also divided into two equal parts. The line, which divided the second half of the radius, is continued with the ruler to the intersection with the circle with the formation of a chord. Connecting the end points of the formed chord with the end points of the diameter of the circle, it is also a given segment, we create two new chords from opposite sides, using which, we divide it by two options into three equal parts. Using a compass, we measure the length of one of the halves of the formed, by ¾ of the formed diameter, it is also the segment specified for dividing, the chord, and then successively lay it off on the segment. Thus, the straight line segment will be divided into three equal parts. Each of the halves formed in ¾ of the diameter of the chord formed, dividing in half. The straight lines that divide each of the halves of the chord into two equal parts are drawn until they touch the segment.
Keywords middle of the segment, middle perpendicular, circumference, radius, compass, ruler.

ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ

Применение циркуля и линейки дает возможность создавать и решать многоплановые операции элементарной геометрии с различными видами геометрических фигур. Поиск различных вариантов разделения отрезка прямой на три равные части с помощью циркуля и линейки необходим для применения в геометрии, начертательной геометрии, инженерной графике, топологии. А также при проектировании строительных объектов, в архитектуре, при конструировании разнообразной техники и при создании соответствующих компьютерных программ.

АНАЛИЗ ПОСЛЕДНИХ ИССЛЕДОВАНИЙ И ПУБЛИКАЦИЙ

Задачи на построение в геометрии являются одними из самых интересных, они требуют нестандартного мышления и действительно восхищают. Методы решения таких задач изучались математиками еще в Древней Греции. Такие задачи вызывают интерес не только красотой и оригинальностью методов решения, но и большой практической ценностью – проектирование строительства, архитектура, конструирование различной техники базируются на геометрических построениях [1], а это не возможно без сложной, многогранной профессиональной подготовки специалистов соответствующего профиля. студента учат учиться, а преподаватель, являясь его партнером в этом учении, совершенствуется вместе с ним, аккумулируя при этом педагогический опыт, который порождает новые методические идеи [2]. Методические особенности использования компьютерных математических инструментов дают и возможность предварительной установки используемых инструментов – или расширение набора инструментов (построение середины отрезка, параллельной прямой или перпендикуляра), что, как правило, упрощает процесс построения или ограничения инструментария, что ставит принципиально новые задачи – например, решить задачу, используя только циркуль или только линейку [3]. Особая роль линейки и циркуля в теории геометрических построений отражает особую роль прямой и круга в элементарной геометрии. Наблюдение и сравнение пространственных форм реального мира привело, прежде всего, к выработке представлений о прямолинейных и круглых фигурах и телах. Прямые и круги являются самыми простыми геометрическими образами на плоскости и составляют фундамент элементарной планиметрии. На плоскости определяется любыми двумя своими точками только прямая и тремя – только круг и их построения выступают как элементарные конструктивные операции, к которыми желательно свести любое геометрическое построение [4, c. 5, 6].
Закономерное превращение фигур в решении неотложного вопроса теории и практики выступает в роли эффективного, действенного отношения между двумя фигурами – заданной и той, в которую эта фигура превращается. Элементарная Эвклидова геометрия изучает свойства многих видов фигур, образованных прямыми линиями и окружностями, а группою их преобразований является подобие (композиция геометрии и движения). Образно-логическое освоения курса геометрии путем преобразований фигур служить становлению положительных качеств и умственному развитию лица, которое получает образование. Искусство решать конструктивные задачи содержит, главным образом, следующие составляющие:
– умение моделировать геометрические ситуации и читать уже выполненное черчение;
– изобретательность в проведении на изображении именно тех вспомогательных линий, которые способствуют конструированию алгоритма поиска развязки (интуиция, опыт в выполнении соответствующих построений);
– достаточный багаж знаний и умений использовать различные методы.
При условии, что учащийся настойчиво учится этому искусству, решает как можно больше задач на построение, у него развивается изобретательность высшего порядка – умение грамотно применять геометрические идеи того или иного метода. А задачам на прямые и окружности в их взаимных расположениях, касаниях и пересечениях, выяснении метрических характеристик различных фигур принадлежит одно из ведущих мест. Такие и похожие на них операции, по естественно «близкими» человеку объектами в получении навыков предметного моделирования, стоят пристального внимания еще и потому, что в подавляющем большинстве они имеют практический, прикладной характер [5]. Изучение курса геометрии открывает широкие возможности для интеллектуального развития, а именно для:

– формирования и развития логического мышления, пространственных представлений и воображения, алгоритмической и графической культуры;
– умения устанавливать причинно-следственные связи;
– построения математических моделей исследуемых процессов и явлений;
– обоснования полученных выводов.
Одним из важных и сложных аспектов учебно-воспитательного процесса при этом является развитие пространственного воображения и пространственного мышления [6]. Задачи на доказательство и построение побуждают к самостоятельной познавательной и исследовательской деятельности. Кроме того, процесс решения геометрической задачи на построение, состоящий из таких четырех этапов:

– анализ исходных данных и формирования плана решения;
– реализация плана;
– доказательства, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи;
– исследование решений и альтернатив,
является примером классического решения любой (не только математической) проблемы. Стоит отметить, что задачи на построение – это своего рода головоломки (выделено автором), а потому воспитывают, а скорее вызывают, способность удивляться, восхищаться, стремление, во что бы то ни стало, решить задачу, пробуждают азарт и волю, также приводят в действие механизм внутренней мотивации, дарят радость творчества и познания. То есть все то, без чего не может быть успешным обучение [7] и дальнейшая научно-практическая деятельность.

ЦЕЛЬ СТАТЬИ

Поиск подходов по разработке возможных вариантов деления отрезка прямой с помощью циркуля и линейки на три равные части.

ИЗЛОЖЕНИЕ ОСНОВНОГО МАТЕРИАЛА ИССЛЕДОВАНИЯ

Человечество пошло не по пути овладения третьим измерением, а по пути его «приручения»: люди старались втиснуть объемы в плоскость, изобразить окружающий мир на скале, песке или папирусе [8, с. 52]. В наше время используются современные подходы по решению задач по передаче объемов на плоскости. Инженерная и компьютерная графика, является одной из техничных наук, которая также призвана решать эти задачи. Цель дисциплины инженерной и компьютерной графики – развитие у курсантов и студентов пространственного представления, конструктивно-геометрического мышления и способностей к анализу пространственных форм на основе их чертежей, а также предоставление знаний, умений и навыков выражать свои технические мысли и понимать мысли других с помощью чертежей, в том числе, построенных с помощью компьютерной техники.
Одной из важнейших задач человечества во все времена проблема учета, а математика решает практические потребности людей, предоставляя им аппарат для расчетов в решении ежедневных нужд [9], а с дальнейшим развитием общества математика выступает главным аппаратом развития аналитического мышления для решения научных и профессиональных задач.
В элементарной плоской Геометрии рассматриваются только следующие образы:
– основные образы – точки, прямые, прямолинейные отрезки, окружности и их дуги;
– совокупность основных образов;

– конечные или бесконечные (например, углы) части плоскости, что ограничиваются основными образами [10, c. 4, 5].
Циркуль и линейку считают самыми первыми, классическими инструментами решения задач на построение. В геометрии построения с помощью циркуля и линейки, известны с древних времен, при этом циркуль и линейка рассматриваются идеальными инструментами:
– циркуль может чертить окружность произвольного радиуса;
– линейка не имеет делений и имеет сторону бесконечной длины, но только одну.
Фигурой в геометрии называют любую совокупность точек, которая содержит, по крайней мере, одну точку. Рассматриваются только те фигуры, которые принадлежат основной плоскости, что есть данной в пространстве, и примером этого могут служить:

– точка;
– пара точек;
– прямая, рассматривается как совокупность точек, принадлежащих ей;
– пара параллельных прямых;
– отрезок – фигура, состоящая из двух точек и всех точек прямой, лежащих между ними;
– интервал, или открытый отрезок – совокупность всех точек, лежащих между двумя данными точками прямой;
– луч – фигура, состоящая из некоторой точки прямой и всех точек этой прямой, расположенных по одну сторону от этой точки;
– окружность – совокупность всех точек плоскости отстоящих на данное расстояние от некоторой данной точки этой плоскости;
– круг – совокупность всех точек плоскости, расстояния которых от данной в этой плоскости точки не превышают длины данного отрезка,
при этом одна фигура называется частью второй фигуры, если каждая точка первой фигуры принадлежит второй фигуре [11, c. 11].

Для деления отрезка прямой АВ на три равные части, используя хорды окружности, с помощью циркуля и линейки сначала определяем его середину. Для этого применяем хрестоматийный метод разделения отрезка на две равные части. С предельных границ отрезка А и В, циркулем, дуги окружности радиуса большего половины отрезка, с противоположных сторон отрезка – сверху и снизу, делаем пересечение дуг. Точки пересечения этих дуг – обозначаем 1 и 2. С помощью линейки сопоставляем точку 1 и 2. Затем с точки 1, расположенной сверху от отрезка, проводим прямую линию до пересечения с ним, которая делит его на две равные части и является средним перпендикуляром – рис.1.

Рисунок 1. Деление отрезка на две равные части.
Затем строим окружность. Точку пересечения прямой с серединой отрезка обозначаем буквой О, ножку циркуля с иглой ставим на середину отрезка, в созданную точку О, другую ножку, с пишущим предметом ставим в точку А, или В отрезка АВ и соединяем их окружностью – рис. 2.

Рисунок 2. Построение окружности вокруг отрезка разделенного пополам.

Окружность пересечет прямую, соединяющую точку 1 и точку 2, точки пересечения обозначаем буквами E и F.
Радиус ОE, который является одновременно и средним перпендикуляром делим, вышеупомянутым методом на две равные части. Из полученных точек 3 и 4 проводим прямую на пересечении с окружностью получаем хорду. Образовавшуюся хорду обозначаем буквами G и H – рис. 3.

Рисунок 3. Построение хорды на половине радиуса окружности.

Точку пересечения хорды GH с радиусом ОE обозначаем буквой K. После этого отрезок KE, что является половиной радиуса OE, делим на две равные части. С помощью точек 5 и 6 на пересечении с окружностью получаем хорду. Образовавшаяся хода, удаленная на расстоянии 3/4 от центра О, окружности радиуса ОE. Полученную хорду обозначаем буквами ST – рис. 4.

Рисунок 4. Построение хорды удаленной на 3/4 от центра окружности.

Пересечение хорды ST с радиусом OE обозначаем буквой P.
После произведенных подготовительных работ по построению хорд окружности, разрабатываем возможные варианты разделения отрезка прямой АВ на три равные части.
Первый вариант. Соединяя точки В и Т получаем хорду ВТ. Затем с точки Р, пересечение хорды ST c радиусом OE, проводим отрезок параллельный хорде ВТ до касания с заданным отрезком АВ и обозначаем точкой D и получаем первый отрезок DВ. Для получения второго отрезка соединяем точки A и S и получаем хорду AS. С точки Р проводим отрезок параллельный хорде AS до касания с заданным отрезком АВ и обозначаем точкой С, рисунок 5.

 

Рисунок 5. Деление отрезка на три равные части – первый вариант.

В данном варианте мы получили отрезок АВ разделенный на три равных отрезка AC, CD, DB.
Второй вариант. Соединяем точки Т и B получаем хорду ТВ. С точки Р, пересечение хорды ST c радиусом OE, проводим отрезок PD параллельный хорде ВТ до касания с заданным отрезком АВ и обозначаем точкой D и получаем первый отрезок DВ. Для получения второго отрезка с точки S проводим отрезок параллельный отрезку PD и хорде ТВ до касания с заданным отрезком АВ и обозначаем точкой С, рисунок 6.

 

Рисунок 6. Деление отрезка на три равные части – второй вариант.

Во втором варианте мы получили отрезок АВ разделенный на три равных отрезка AC, CD, DB.
Третий вариант. Проводим очередной этап разделения отрезка прямой на три равные части. Применяя циркуль, замеряем расстояние между точкой SP или PT, которое равно половине образованной хорды ST, и последовательно откладываем на отрезке АВ – рис. 7.

Рисунок 7. Деление отрезка на три равные части – третий вариант.

В данном варианте отрезок AB прямой также разделен на три равные части – АС, CD и DB.
Четвертый вариант. Каждую из половин, образованной хорды ST – SP и PT делим, выше примененным методом на две равные части. Проводим прямые, соединяющие точки 7 и 9 и 8 и 10 и делим каждую из половин хорды на две равные части, до пересечения с диаметром окружности, который является заданным отрезком AB – рис 8.

Рисунок 8. Деление отрезка на три равные части – четвертый вариант.

В данном случае отрезок АВ также поделен на три равные части – АС, CD и DB.
Длина хорды, отстоящей на 3/4 от центра окружности, равна 2/3 диаметра, а 1/2 хорды, отстоящей на 3/4 от центра окружности, равна 1/3 диаметра этой же окружности. При вращении образованной фигуры (рис. 5, 6, 7, 8) вокруг оси – вертикальной прямой линии обозначенной точками 1 и 2 и вокруг отрезка АВ – он же, в нашем случае, является диаметром, образуется геометрическое тело – сфера. Можно использовать и другие оси вращения. Хордами AB, GH, ST, BT. DP. CP и CS и соответствующими дугами окружности будут образованы:
– круги разных диаметров и разных площадей;
– окружности разной длины;
– разные геометрические тела.
Все их характеристики будут находиться, между собой и соответствующими хордами, в определенных соотношениях.

ВЫВОДЫ

Раскрыто возможные варианты деления отрезка прямой на три равные части с использованием циркуля и линейки. При применении деления отрезка поочередно на три равные части их количество будет кратно числу 3 и будет иметь следующий вид n=3n. Поочередное комбинирования разделения отрезка прямой на три и на две, а также на две и на три равные части дает возможность делить отрезок прямой на равные части на количество кратное числу 3 и 2. Дальнейшее расширение исследований видится в поисках других вероятных вариантов деления отрезка прямой на три равные части с применением циркуля и линейки. Полученные результаты можно использовать для разработки других вариантов деления отрезка прямой на три равные части. Соотношение хорд окружности, определенное при делении отрезка прямой на три равные части, можно применить для установления соотношения, в образованной сфере, разных геометрических фигур и разных показателей образованных геометрических тел.

ПЕРСПЕКТИВЫ ДАЛЬНЕЙШИХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Полученные данные можно применять для поиска новых геометро-графических методов для решений построения и трансформации геометрических фигур и геометрических тел в инженерной и компьютерной графике, геометрии, начертательной геометрии,
топологии, а также для дальнейших соответствующих математических обоснований.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Азаров Є.Л. «Побудови конiками І. Парабола» // У світі математики. – 2018. – Т.2 (24). – С. 19-24. [Электронный ресурс]. Доступно: http://probability.univ.kiev.ua/usm/wp-content/uploads/2018/11/usmvolume2.pdf .
2. Панасюк Н.М. «Вища математика і нові інформаційні технології в технічному університеті», Сімнадцята міжнародна наукова конференція ім. акад. Михайла Кравчука, 19—20 травня, 2016 р., Київ: Матеріали конф. Т. 3. Теорія ймовірностей та математична статистика. Історія та методика математики. — К.: НТУУ «КПІ», 2016. — С. 297-299 [Электронный ресурс]. Доступно: http://matan.kpi.ua/public/files/kk2016/kravchuk2016-volume3.pdf .
3. Семеніхіна О.В., Друшляк М.Г. «Комп’ютерні інструменти програм динамічної математики методичні проблеми їх використання», Інформаційні технології і засоби навчання, 2014, Том 42, №4. – С. 109-117. [Электронний ресурс]. Доступно: https://repository.sspu.sumy.ua/handle/123456789/2676 .
4. Костарчук В.М., Хацет Б.І. «Про можливе і неможливе в геометрії циркуля і лінійки», Державне учбово-педагогічне видавництво «Радянська школа» Київ. 1962. 127c.
5. Ленчук І. Г.Франовський А.Ц. «Комп’ютерне моделювання задач планіметрії: метод інверсії», Інформаційні технології і засоби навчання, 2016, Том 56, № 6. – С. 88-106. [Электронный ресурс]. Доступно: http://nbuv.gov.ua/UJRN/ITZN_2016_56_6_10 .
6. Шаповалова Н. В., Кучменко С.М. «Застосування засобів динамічної геометрії у навчальному процесі закладів вищої освіти», Фізико-математична освіта (ФМО), 2018, випуск 4(18). – С.177-182. [Электронный ресурс]. Доступно: https://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/journals/2018-v4-18/2018_4-18-Shapovalova_Kuchmenko_FMO.pdf .
7. Астаф’єва.М.М., Бодненко Д. М., Прошкін В. В. «Використання комп’ютерно орієнтованих засобів геометрії у процесі формування критичного мислення майбутніх учителів математики» Інформаційні технології і засоби навчання, 2019, Том 71, №3. – С. 102-118. . [Электронный ресурс]. Доступно: https://journal.iitta.gov.ua/index.php/itlt/article/view/2449 .
8. Левитин К. Е. Геометрическая рапсодия. М., «Знание», 1976, 144 с.
9. Яценко Г.Ю., Стрелковський І.В. «Філософські питання математики: сутність аксіоматичного методу», Науковий часопис Національного педагогічного університету імені М.П. Драгоманова. Серія7. Релігієзнавство. Культурологія. Філософія: [зб. наукових праць] / ред. рада: В. П. Андрущенко (голова). – К.: Видавництво НПУ імені М. П. Драгоманова, 2012. – Вип. 28 (41). – С. 248-253. [Электронный ресурс]. Доступно: http://enpuir.npu.edu.ua/handle/123456789/2607 .
10. Август Адлер Теория геометрических построений. Перевод с немецкого Г.М.Фихтенгольца. Издание третье. Л., Учпедгиз, 1940, 232 с. [Электронний ресурс]. Доступно: http://ilib.mccme.ru/djvu/geometry/adler.htm .
11. Аргунов Б. И., Балк М. Б. Геометрические построения на плоскости : пособие для студентов педагогических институтов – Издание второе. – М. : Учпедгиз, 1957, 268 с. [Электронный ресурс]. Доступно: http://ilib.mccme.ru/djvu/geometry/geopost.htm .
12. Лихтенберг Г. К. Интродукция // Левитин К. Е. Геометрическая рапсодия. М., «Знание», 1976. – С. 35-37.

REFERANCES (TRANSLATED AND TRANSLITERATED)

1. Azarov Ye.L., Tymoshkevych T.D. «Сonic Creation І. Parabola»˵ // U sviti matematyky, 2018, T.2 (24), pp. 19-24. Retrieved from http://probability.univ.kiev.ua/usm/wp-content/uploads/2018/11/usmvolume2.pdf . [in Ukrainian].
2. Panasiuk N.M. «Higher Mathematics and New Information Technologies at a Technical University» Seventeenth International Scientific Conference. Acad. Mykhaylo Kravchuk, May 19-20, 2016, Kyiv: Materials of Conf. Vol. 3. Probability Theory and Mathematical Statistics. History and Methodology of Mathematics, 2016, pp. 297-299. K.: NTUU «KPI». Retrieved from http://matan.kpi.ua/public/files/kk2016/kravchuk2016-volume3.pdf . [in Ukrainian].
3. Semenikhina O.V., Drushliak M.H. «Dynamic Maths Computer Tools and Methodical Problems of Using Them», Information Technology and Training Tools, 2014, Vol. 42, 4, pp. 109-117. Retrieved from https://repository.sspu.sumy.ua/handle/123456789/2676. [in Ukrainian].
4. Kostarchuk V.M., Khatset B.I. «About the Possible and the Impossible in the Geometry of Compass and Ruler» Derzhavne uchbovo-pedahohichne vydavnytstvo «Radianska shkola » Kyiv. 1962, 127 p. [in Ukrainian].
5. Lenchuk I. H., Franovskyi A.Ts. «Computer Simulation of Planimetry Problems: An Inversion Method», — Information Technology and Training Tools, 2016, Vol. 56, 6, pp. 88-106. Retrieved from http://nbuv.gov.ua/UJRN/ITZN_2016_56_6_10. [in Ukrainian].
6. Shapovalova N. V., Kuchmenko S.M. «Application of Dynamic Geometry in the Educational Process of Higher Education Institutions», Physics and Mathematics Education (PyME), 2018, Issue 4 (18), рр. 177-182. Retrieved from https://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/journals/2018-v4-18/2018_4-18-Shapovalova_Kuchmenko_FMO.pdf . [in Ukrainian].
7. Astafieva.M.M., Bodnenko D.M., Proshkin V.V. «The Use of Computer-Aided Geometry Tools in the Process of Forming of Critical Thinking of Future Mathematics Teachers», Information Technology and Training Tools, 2019, Vol. 71, 3. 102-118. Retrieved from https://journal.iitta.gov.ua/index.php/itlt/article/view/2449. [in Ukrainian].
8. Levitin K. E. Geometric Rhapsody. M., «Znanie», 1976, 144 p. [in Russian].
9. Iatsenko H.Iu., Strelkovskyi I.V. «Philosophical Questions of Mathematics: The Essence of the Axiomatic Method», Scientific Journal of the National Pedagogical University named after M.P. Drahomanov. Series7. Religious Studies. Cultural Studies. Philosophy: [Coll. scientific works], K.: Vydavnytstvo NPU imeni M. P. Drahomanova, 2012, Issue 28 (41), 248-253. Retrieved from http://enpuir.npu.edu.ua/handle/123456789/2607 . [in Ukrainian].
10. Avhust Adler (1840). «The Theory of Geometric Constructions», L..: Uchpedhyz, 1940, 232 р. Retrieved from http://ilib.mccme.ru/djvu/geometry/adler.htm. [in Russian].
11. Arhunov B. Y., Balk M. B. «Geometric Constructions on the Plane» . M. : Uchpedhyz, 1957, 268 р. Retrieved from http://ilib.mccme.ru/djvu/geometry/geopost.htm. [in Russian].
12. Likhtenberg G. K. Introduction // Levitin K. E. Geometric Rhapsody. M., «Znanie», 1976, рр. 35-37. [in Russian].

Иллюстрация: myshared.ru

Поделиться.

Об авторе

Alexey Buzhin

Прокомментировать

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.